ИНФОРМАТИКА САБАҒЫНДА ОҚУШЫЛАРДЫ БІР САНАУ ЖҮЙЕСІНЕН ЕКІНШІ САНАУ ЖҮЙЕСІНЕ ТИІМДІ АЙНАЛДЫРУҒА ДАҒДЫЛАНДЫРУ

Компьютерде қолданылатын санау жүйелері

        Қазақстан Республикасының «Білім туралы Заңында» білім беру жүйесінің басты міндеті – ұлттық және жалпы адамзаттық құндылықтар ғылым мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытуды жаңа технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, білім беру жүйесін одан ары дамыту міндеттері көзделеді.

          Оқу процесі оқушылардың оқу-танымдық әрекеті негізінде жүзеге асса, ал оқу-танымдық әрекеті негізінде оқушыларың танымдық белсенділігі қалыптасады. Белсенділіктің ең жоғарғы көрінісі оқушылардың алған білімдерін өмірде пайдалана білуі болып табылады.

        Информатика пәні бойынша оқушылардың сабақтағы қызығушылығы мен белсенділігін қалыптастырудың жолдары сан алуан. Оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттырудың жолдарының бірі теориялық білімді практикамен ұштастыру, яғни білімдерін компьютерлерде орындау, нәтижеге жетуде кездесетін қиындықтар мен проблемаларды шешу.

          Санау ұғымы – математикадағы сияқты информатиканың да іргелі негізі. Егер математикада сандарды өңдеу әдістеріне көңіл бөлінетін болса, информатикада сандардың берілу әдістерінің маңызы ерекше, өйткені солар ғана жадының қажет ресурсын, есептеу жылдамдығы мен қателіктерін айқындайды.

            Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.

             Сандарды атау және жазу ережелері мен әдістерінің жинағын  — санау жүйесі деп атайды.

         Санау жүйелері сандарды өрнектеудің қандай да бір тәсілі және оған сәйкес сандармен әрекет жасау ережелері. Бұрынғы және қазіргі қолданылып жүрген барлық санау жүйелері позициялық және позициялық емес санау жүйелері болып екі үлкен топқа бөлінеді.

             Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның жазылу орнына тәуелді болады. Жүйеге мынадай санау жүйелерін мысал ретінде қарастыруға болады: екілік, сегіздік, ондық, т.б.

            Позициялық емес санау жүйесін ертедегі мысырлықтар, гректер, римдіктер, басқа да халықтар пайдаланды. Позициялық емес санау жүйелерінің ішінде ең көп тарағаны – римдік санау жүйесі. Мысалы, 36 санын былай жазған:

XXXVI = 10 + 10 + 10 + 5 + 1

 

 Позициялық емес санау жүйелерінің кемшіліктері:

• Үлкен сандарды жазу үшін үнемі жаңа сандарды енгізіп отыру керек;

• Бөлшек және теріс таңбалы сандарды өрнектеу мүмкін емес;

• Орындау алгоритм болмағандықтан, арифметикалық амалдарды орындау қиын.

Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар.

 

Санау жүйесi төртке бөлiнедi:

1. Ондық санау жүйесi.

2. Екiлiк санау жүйесi;

3. Сегiздiк санау жүйесi;

4. Он алтылық санау жүйесi.

 Информатика курсында оқылатын санау жүйелерінің түрлері

           Ондық санау жүйесi. Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Мыс: 568=500+60+8 5 жүздiктер разрядынан, 6 ондықтар разрядынан, 8-бiрлiктер разрядынан тұрады. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды. 568 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 5*10²+6*10¹+8*10⁰ Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi. Бiрлiктер үшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктер үшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с. Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 53,604=5*10¹+3*10⁰+6*10^-1+0*10^-2+4*10^-3 Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесi, яғни екi негiздеушiсi бар санау жүйесi қолданылады.

             Екiлiк санау жүйесi. Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Кез келген санау жүйесiнiң негiзiн осы санау жүйесiнде қолданылатын цифрлар санын анықтап ЭЕМ-де ақпаратты өрнектеу үшiн екiлiк жүйе қолданылады. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады. Мысалы, 3011,12 екiлiк сан үшiн қосынды мына түрде болады: 3011,12=3*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+2*2^-2 Бұл қосынды ондық сан үшiн жазылған қосындының ережесi бойынша жазылады. Екiлiк жүйенiң маңыздғы құндылығы – цифрды ұсыну ыңғайлылығы және компьютер аппаратурасының қарапайымдылығы. Екiлiк жүйенiң кемшiлiгi – мұнда санды жазу үшiн 0 мен 1 цифрлары көп қажет болады. Бұл адамның екiлiк санды қабылдауын қиындатады. Мысалы 128 ондық санының екiлiк жүйедегi түрi мынадай: 10000000. Сондықтан екiлiк жүйе әдетте компьютердiң “iшкi қажеттiлiгi” үшiн қолданылады, ол адамның компьютермен жұмыс iстеуi үшiн үлкен негiздеуiшi санау жүйесi таңдалды. Бұл сегiздiк және он алтылық жүйелер. Осы екi жүйелердiң және екiлiк жүйенiң арасында санды бiр жүйеден басқаға ауыстыруды жеңiлдететiн қарапайым байланыс бар.

           2-жолында санды үлкен дәрежеге келтіру, сосын келесі дәрежені алып тастау. Айырмашылығы неде? Әрбір бір санын санап, қосып отыру керек. Ал бұлай есептеу көп уақытты алуы мүмкін. Бірақ біз керісінше разрядпен жүретін болсақ, 1101111011₂ –ні былай жазуға болады. Бірінші тұрған 1-ді қалдырып, қалған санды 0-ге айналдырамыз. Ал 0-дің орнына 1 қойып шығамыз, яғни азайту мәнімен азайтамыз.

           10000100₂ – мұнда 2⁹ деп бастасақ (2¹⁰-1) болса, барлығының дәрежесі 1-ге айналады. Разряд бойынша 0 сандары ескерілмейді. 7-сан 0 болған еді. Дәрежесі бойынша 0 болады.

(2¹⁰-1)-2⁷-2²=1024-128-4-1=891₁₀

          Python бағдарламасымен де есептерді оңай шығаруға болады.

   76 5 4 32 10

       10111111₂= 2⁸-1-2⁶=256-1-64=191

Компьютерде екілік жүйені қолдану ыңғайлылығы

• Компьютерлік жүйедегі сандардың екі тұрақты қалпы бар 1 мен 0) техникалық құрылғылармен бейнелеуге болады. (шам жанып тұр – сөніп тұр, ток бар – тоқ жоқ, магниттелен – магниттелмеген т.б.) ал ондық жүйе үшін он тұрақты қалып керек болады.

• Ақпаратты екі ғана қалыппен бейнелеу оңай, әрі сенімді. Бұл тәсіл кедергілерге де төзімді.

• Ақпаратты логикалық түрлендіруде Буль алгебрасын пайдалану мүмкіндігі бар.

• Екілік арифметика ондық арифметикадан әлдеқайда жеңіл орындалады.

           Сегiздiк санау жүйесi. Сегiздiк санау жүйесi, яғни сегiздiк негiздеушi санау жүйесi, сегiз цифрдың көмегiмен санды көрсетедi: 0,1,2,3,4,5,6,7. Мысалы, 356 санын негiздеушi 8 қосындысы түрiнде жазайық: 357=3*8²+5*8¹+7*8⁰

              Он алтылық санау жүйесi. Он алтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтiн алты цифрды белгiлеу үшiн ондық сандарының мәнi 10,11,12,13,14,15 болатын сәйкес латын алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Сондықтан оналтылың сандарда, мысалы, 3Е5А түрi болуы мүмкiн. Осы санды негiздеушi 16 қосындысы түрiнде 3Е5А=3*16³+Е*16²+5*16¹+А*16⁰ жазылады.

            Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекске қандай жүйеде екенi көрсетiледi.

17₍₁₀₎=x₍₃₎=122₍₃₎

17/2=16 (1)

16/2=8 (0)

8/2=4 (0)

4/2=2 (0)

2/2=1 (1)

4  3  2   1  0

1 0 0 0 1₍₂₎ = 1-24+0*2³+0*2²+0*2¹+1*2¹=16+0+0+0+1=17

          Бүтін және бөлшек ондық сандарды басқа позициялық санау жүйелеріне ауыстыру

            Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне аудару үшін, бұл санды екіге бөледі. Алынған бөліндіні қайтадан екіге бөледі және т.с.с. алынған бөліндіні 2-ден кіші сан шыққанша жалғастыра береді. Нәтижесінде соңғы бөлінді мен соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазып шығады. Мысалы: 0,322₁₀=0,0101₂

         Ондық оң бөлшекті екілік санау жүйесіне аудару үшін бөлшекті 2-ге көбейту керек. Көбейтіндінің бүтін бөлігін екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінде алып, бөлшек бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді. Енді бұл көбейтіндінің бүтін бөлігін екілік бөлшектің келесі цифры ретінде алып, бөлшек бөлігін тағы 2-ге көбейту керек және т.с.с. Ауыстыру бөлшек бөлікте 0 шыққанда немесе үтірден кейінгі цифрлардың саны алынғанша жүргізіледі.

        524₁₀=1014₈                  350₁₀=15E₁₆

          Ондық сандарды сегіздік және он алтылық санау жүйесіне ауыстыру екілік санау жүйесіне ауыстырғандай жүреді. Тек негізі 8 немесе 16 болғандықтан енді 2-ге емес 8-ге немесе 16-ға бөлеміз. Сәйкесінше бөліндіде 8-ден немесе 16-дан кіші сан шыққанда бөлуді тоқтатып, соңғы бөлінді мен соңғысынан бастап қалдықтарды тізіп жазып шығамыз.

         0,466₁₀ = 0,3564₈    0,075₁₀ = 0,1333₁₆

          Ондық оң бөлшекті 8-дік немесе 16-лық санау жүйесіне аудару үшін бөлшекті 8-ге немесе 16-ға көбейту керек. Ары қарай ондық бөлшекті екілік санға аударғандай жүреді.

703,4₈           х₁₀:703,4₈ =7*8²+0*8¹+3*8⁰+0*8^-1+4*8^-2 =

= 451,0625₁₀

B2E,4₁₆          x₁₀ : В2Е,4₁₆ = 11*16²+2*16¹+14+16^-1 =

= 2862,2510

 

        Сандарды екілік, сегіздік, он алтылық кодтар түрінде жазу

          Ондық сандарды екілік санау жүйесіне түрлендіру үшін оларды алдымен компьютерге белгілі бір тәсілмен енгізіп алу керек. Осы мақсатта сандарды екілік, ондық кодтар түрінде жазу жолы немесе ондық сан цифрларын ASCII код түрінде жазу қарастырылған. Сандарды екілік, ондық кодтар түрінде жазу кезінде ондық санның әрбір төрт цифры төрт разрядты екілік санмен – тетрадамен алмастырылады. Мұндай түрде сандарды жазу тек қана қосымша тәсіл емес, кей кездерде сандарды бейнелеудің негізгі жолы ретінде де қарастырылады.

Екілік жүйе (негізгі 2)	Сегіздік жүйе (негізі 8)	Ондық жүйе (негізі 10)	Он алтылық жүйе (негізі 16)
0 1	Триада 0             000 1             001 2             010 3             011 4             100 5             101 6             110 7             111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	Тетрада 0           0000 1           0001 2           0010 3           0011 4           0100 5           0101 6           0110 7           0111 8           1111 9           1001 A          1010 B           1011 C           1100 D           1101 E           1110 F            1111

 

 Сегіздік және он алтылық сандар екілік жүйеге өте жеңіл түрленеді: олардың әрбір цифрын соларға сәйкес екілік триадамен (үш цифрмен) немесе тетрадамен (төрт цифрмен) алмастыру жеткілікті.

537,1 = 101  011  111  001₂

                        _{5          3           7          1}

 

1А3,F = 1 1010   0011   1111₂

                                 _{A             3                F}

          Санды екілік жүйеден сегіздік немесе он алтылық жүйеге көшіру үшін сол санды үтірден оңға және солға қарай триадаларға (сегіздік) немесе тетрадаларға (он алтылық) бөліп, әрбір топты соған сәйкес сегіздік, он алтылық цифрмен алмастыру керек.

10101001,10111₂ = 101  010  011  011  111₂ = 251,56

                                   _{2           5          1           5          6}

    10101001,10111₂ = 1010  1001 1011 1000 = A9,B8₁₆

                                                        _{A              9           B            8}

Пайдаланған әдебиеттер

 

1. https://www.youtube.com/watch?v=ONfF8POC5Yg

«Үздік білім» каналы

2. Фомин С.В Системы вычисления. М. Наука, 1987.96 с.

3. Шаушикова Л.З. Информатика. Учебник. 10-11 кл. М.Просвещение. 2000. 415 с.

4. Андреев Е., Фалина И. Система вычисления и компьютерная арифметика. М. Лаборатория базовых знаний. 2000. 248 с.

5. Бөрібаев Б. Компьютердің арифметикалық негіздері. Алматы. Қазақ университеті. 2009. 80 б.

Камбарова Айгул Файзуллаевна,

№10 «Қайнар» мектеп-гимназия» КММ информатика пәні мұғалімі.

Асықата кенті, Жетісай ауданы.